【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边BC的中点,联结AD.过点C作CE⊥AD于点E,联结BE.
(1)求证:BD2=DEAD;
(2)如果∠ABC=∠DCE,求证:BDCE=BEDE.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)证明△CDE∽△ADC推出,可得CD2=DEDA即可解决问题.
(2)利用相似三角形的性质首先证明AC=BE,再证明△ACE∽△CDE,可得,可得即可解决问题.
解:
(1)证明:如图1中,
∵CE⊥AD,
∴∠CED=∠ACD=90,
∵∠CDE=∠ADC,
∴△CDE∽△ADC
∴,
∴CD2=DEDA,
∵DB=CD,
∴∴BD2=DEDA.
(2)解:如图2中,
∵BD2=DEDA,
∴,
∵∠CDE=∠ADB,
∴△BDE∽△ADB,
∴∠DEB=∠ABC,
∵∠ABD=∠ECD,
∴∠BED=∠BCE,
∵∠EBD=∠CBE,
∴△EBD∽△CBE,
∴,
∴BE2=BDBC,
∵CD=BD,
∴BE2=2CD2,
∵∠DCE+∠ACE=90,∠CAD+∠ACE=90,
∴∠CAD=∠ECD=∠ABC,
∵∠ACD=∠BCA,
∴△ACD∽△BCA,
∴,
∴AC2=CDCB=2CD2,
∴AC=BE,
∵△ACE∽△CDE,
∴,
∴,
∴BDCE=BEDE.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点P,直线BF与AD延长线交于点F,且∠AFB=∠ABC.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若CD=2,BP=1,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(-4,0),B点坐标为(1,0),以AB的中点P为圆心,AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式;
(2)设M为(1)中抛物线的顶点,试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论;
(3)在第二象限中是否存在的一点Q,使得以A,O,Q为顶点的三角形与△OBC相似.若存在,请求出所有满足的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
注:二次函数(≠0)的对称轴是直线=.
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【题目】如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点(不与B、C重合),连接OC、OP,将OP绕点P顺时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ,若∠BPO=15°,BP=4,则BQ的长为_____.
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【题目】如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,A(﹣5,0),与y轴交于C(0,﹣5),并且对称轴x=﹣3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P在x轴上方的抛物线上,过P的直线y=x+m与直线AC交于点M,与y轴交于点N,求PM+MN的最大值;
(3)点D为抛物线对称轴上一点,
①当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时,求D点坐标;
②若△ACD是锐角三角形,求点D的纵坐标的取值范围.
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【题目】综合与探究:
已知二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于A,B两点(点B在点A的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)求证:△ABC为直角三角形;
(3)如图,动点E,F同时从点A出发,其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动,点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动.当点F停止运动时,点E随之停止运动.设运动时间为t秒,连结EF,将△AEF沿EF翻折,使点A落在点D处,得到△DEF.当点F在AC上时,是否存在某一时刻t,使得△DCO≌△BCO?(点D不与点B重合)若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,过原点的直线与反比例函数()的图象交于,两点,点在第一象限.点在轴正半轴上,连结交反比例函数图象于点.为的平分线,过点作的垂线,垂足为,连结.若是线段中点,的面积为4,则的值为______.
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