Question

【题目】如图，在圆O中，弦AC，BD相交于点M，且∠A＝∠B

（1）求证：AC＝BD；

（2）若OA＝4，∠A＝30°，当AC⊥BD时，求弧CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）（1）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，证明△DEB≌△CFA即可得到结论；

（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，CD，OD，OC，先求得∠COA＝120°，再求出∠EOA＝30°，即可得到∠COD＝30°，再根据弧长公式计算.

证明：（1）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，

∵BE，AF是⊙O的直径，

∴∠EDB＝∠FCA＝90°．

在△DEB与△CFA中，

∵，

∴△DEB≌△CFA（AAS），

∴AC＝BD；

（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，CD，OD，OC，

∵∠A＝30°，OA＝OC，

∴∠COA＝180°﹣30°﹣30°＝120°．

∵∠A＝∠B＝30°，AC⊥BD，

∴∠EOA+∠A＝60°，

∴∠EOA＝30°，

∴∠DOE＝60°，

∴∠COD＝30°，

∴.