Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，点、点在轴上（点在点的左侧），点在第一象限，满足为直角，且恰使∽△，抛物线经过、、三点．

（1）求线段、的长；

（2）求点的坐标及该抛物线的函数关系式；

（3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）OB=6，=；（2）的坐标为；；（3）存在，，，，

【解析】

（1）根据题意先确定OA，OB的长，再根据△OCA∽△OBC，可得出关于OC、OA、OB的比例关系式即可求出线段、的长；

（2）由题意利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理来求C点的坐标，并将C点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式；

（3）根据题意运用等腰三角形的性质，对所有符合条件的点的坐标进行讨论可知有四个符合条件的点，分别进行分析求解即可．

解：（1）由（）

得，，即：，

∵∽

∴

∴（舍去）

∴线段的长为.

（2）∵∽

∴，

设，

则，

由

得，

解得（-2舍去），

∴，，

过点作于点，

由面积得，∴的坐标为

将点的坐标代入抛物线的解析式得

∴.

（3）存在，，，

①当P1与O重合时，△BCP1为等腰三角形

∴P1的坐标为（0，0）；

②当P2B=BC时（P2在B点的左侧），△BCP2为等腰三角形

∴P2的坐标为（6-2，0）；

③当P3为AB的中点时，P3B=P3C，△BCP3为等腰三角形

∴P3的坐标为（4，0）；

④当BP4=BC时（P4在B点的右侧），△BCP4为等腰三角形

∴P4的坐标为（6+2，0）；

∴在x轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点P的坐标为：

，，，.