Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．

(1)求抛物线的解析式．

(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

注：二次函数（≠0）的对称轴是直线=.

Answer 1

【答案】（1）（2）P（，）

【解析】

解：（1）∵OA=2，OC=3，

∴A（－2，0），C（0，3）．

将C（0，3）代入得c=3．

将A（－2，0）代入得，，

解得b=，

∴抛物线的解析式为；

（2）如图：连接AD，与对称轴相交于P，

由于点A和点B关于对称轴对称，则BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小．

设直线AD的解析式为y=kx+b，

将A（-2，0），D（2，2）分别代入解析式得， ，解得，，

∴直线AD解析式为y=x+1．

∵二次函数的对称轴为，

∴当x=时，y=×+1=．

∴P（，）．