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【题目】综合与探究:

已知二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于AB两点(点B在点A的左侧),与y轴交于点C

1)求点ABC的坐标;

2)求证:ABC为直角三角形;

3)如图,动点EF同时从点A出发,其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动,点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动.当点F停止运动时,点E随之停止运动.设运动时间为t秒,连结EF,将AEF沿EF翻折,使点A落在点D处,得到DEF.当点FAC上时,是否存在某一时刻t,使得DCO≌△BCO?(点D不与点B重合)若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)点A的坐标为(40),点B的坐标为(﹣10),点C的坐标为(02);(2)证明见解析;(3t.

【解析】

1)利用x=0y=0解方程即可求出ABC三点坐标;
2)先计算△ABC的三边长,根据勾股定理的逆定理可得结论;
3)先证明△AEF∽△ACB,得∠AEF=ACB=90°,确定△AEF沿EF翻折后,点A落在x轴上点D处,根据△DCO≌△BCO时,BO=OD,列方程4-4t=1,可得结论.

1)解:当y0时,﹣x+20

解得:x11x24

A的坐标为(40),点B的坐标为(﹣10),

x0时,y2

C的坐标为(02);

2)证明:A40),B(﹣10),C02),

OA4OB1OC2

AB5AC

AC2+BC225AB2

∴△ABC为直角三角形;

3)解:由(2)可知ABC为直角三角形.且ACB90°

AE2tAFt

∵∠EAFCAB

∴△AEF∽△ACB

∴∠AEFACB90°

∴△AEF沿EF翻折后,点A落在x轴上点 D处,

由翻折知,DEAE

AD2AE4t

DCO≌△BCO时,BOOD

OD44tBO1

∴44t1t

即:当t秒时,DCO≌△BCO

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