Question

【题目】 如图，AB是⊙O的直径，点E是AD上的一点，∠DBC＝∠BED

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知AD＝3，CD＝1，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）﹣.

【解析】

（1）根据圆周角定理得∠BAD=∠BED，加上∠DBC=∠BED，所以∠BAD=∠DBC，再由AB为直径得∠ADB=90°，所以∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠DBC+∠ABD=90°，即∠CBO=90°，然后根据切线的判断定理可判断BC为⊙O的切线；
（2）求出BD=，连结OD，作DH⊥AB于H，根据勾股定理计算出AB=2，则OB=OD=，于是可判断△OBD为等边三角形，则∠BOD=60°，根据面积公式求出DH=，然后根据扇形面积公式和三角形面积公式，利用阴影部分的面积=S扇形OBD-S△OBD进行计算即可．

解：（1）∵∠BAD＝∠BED，

而∠DBC＝∠BED，

∴∠BAD＝∠DBC，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD+∠ABD＝90°

∴∠DBC+∠ABD＝90°，即∠CBO＝90°，

∴AB⊥BC，

∴BC为⊙O的切线；

（2）连结OD，作DH⊥AB于H，

∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，

根据（1）知∠BAD＝∠DBC

∴△ABD∽△BDC

∴BD2＝ADCD＝3×1＝3，

∴BD＝，

∴AB＝＝＝2，

∴OB＝OD＝，

∴OB＝OD＝BD，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠BOD＝60°，

∵ABDH＝ADBD，

∴DH＝＝＝，

∴S阴影＝S扇形OBD﹣S△OBD＝﹣××＝﹣．