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【题目】如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使AOB的面积等于6,求点B的坐标;

(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使POB=90°?若存在,求出点P的坐标,并求出POB的面积;若不存在,请说明理由.

【答案】解:(1)函数的图象与x轴相交于O,0=k+1,k=﹣1。

这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。

(2)如图,过点B做BDx轴于点D,

令x2﹣3x=0,解得:x=0或3。AO=3。

∵△AOB的面积等于6,AOBD=6。BD=4。

点B在函数y=x2﹣3x的图象上,

4=x2﹣3x,解得:x=4或x=﹣1(舍去)。

顶点坐标为:( 1.5,﹣2.25),且2.25<4,

x轴下方不存在B点

点B的坐标为:(4,4)

(3)存在。

点B的坐标为:(4,4),∴∠BOD=45°,

POB=90°,POD=45°

设P点坐标为(x,x2﹣3x)。

,解得x=4 或x=0(舍去)。此时不存在点P(与点B重合)。

,解得x=2 或x=0(舍去)。

当x=2时,x2﹣3x=﹣2。

点P 的坐标为(2,﹣2)

POB=90°,∴△POB的面积为: POBO=××=8

解析(1)将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值,从而求得抛物线的解析式

(2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标,也就求出了OA的长,根据OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值,然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标,然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可

(3)根据B点坐标可求出直线OB的解析式,由于OBOP,由此可求出P点的坐标特点,代入二次函数解析式可得出P点的坐标.求POB的面积时,求出OB,OP的长度即可求出BOP的面积

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