【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+m.
(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示);
(2)如果该抛物线的顶点在直线y=2x﹣4上,求m的值.
(3)点A的坐标为(﹣2,﹣8),点A关于点(0,﹣9)的对称点为B点.
①写出点B坐标.
②若该抛物线与线段AB有公共点,结合函数图象,直接写出m的取值范围.
【答案】(1)对称轴方程为:x=m;(2)m=4;(3)①B(2,﹣10);②当﹣4≤m≤﹣1或1≤m≤6时,抛物线与线段AB有公共点.
【解析】
(1)根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴方程为x=解答即可;(2)把二次函数解析式化成顶点式,可得顶点坐标,代入y=2x﹣4求出m值即可;(3)①设B(x,y),根据中点坐标公式即可求出B点坐标;②分别把A、B两点坐标代入y=﹣x2+2mx﹣m2+m,求出m的值,根据图象即可得m的取值范围.
(1)抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+m对称轴方程为:x=﹣=m,
(2)∵y=﹣x2+2mx﹣m2+m=﹣(x﹣m)2+m,
∴顶点坐标为(m,m),
∵抛物线顶点在直线y=2x﹣4上,
∴m=2m﹣4,
∴m=4;
(3)①设B(x,y),
∵点A的坐标为(﹣2,﹣8),点A关于点(0,﹣9)的对称点为B点,
∴=0,=﹣9,
∴B(2,﹣10);
②如图所示:把A(﹣2,﹣8)代入y=﹣x2+2mx﹣m2+m得,﹣8=﹣4﹣4m﹣m2+m,
解得m=1或m=﹣4,
把B(2,﹣10)代入y=mx2﹣4mx+2m﹣1得,﹣10=﹣4+4m﹣m2+m,
解得m=6或m=﹣1,
∴当﹣4≤m≤﹣1或1≤m≤6时,抛物线与线段AB有公共点.
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【题目】已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3.
(1)与y轴的交点坐标是 ,顶点坐标是 .
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线;
x | … | … | |||||
y | … | … |
(3)结合图象回答:当﹣2<x<2时,函数值y的取值范围是 .
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【题目】如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标;
(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(3,﹣2)、B(﹣2,n)两点,与x轴交于点C.
(1)求k2,n的值;
(2)请直接写出不等式k1x+b>的解集;
(3)将x轴下方的图象沿x轴翻折,点A落在点A′处,连接A'B、A'C,求△A'BC的面积.
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【题目】如图,函数y=﹣x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A(1,0),B(0,3),对称轴是x=﹣1,在下列结论中,正确的是( )
A.顶点坐标为(﹣1,3)
B.抛物线与x轴的另一个交点是(﹣4,0)
C.当x<0时,y随x的增大而增大
D.b+c=1
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D为AB边上一点(不与点B重合),连接CD,将线段CD绕点D逆时针旋转90°,点C的对应点为E,连接BE.若AB=2,则△BDE面积的最大值为_____.
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【题目】已知关于x的方程x2﹣2(a+b)x+c2+2ab=0有两个相等的实数根,其中a、b、c为△ABC的三边长.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)若CD是AB边上的高,AC=2,AD=1,求BD的长.
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