Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为_____．

Answer 1

【答案】 +

【解析】

根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（-1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-3），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．

解：如图，

在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），

则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），

作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），

连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，

四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE

＝DE+D′F+FG+GE′

＝DE+D′E′

＝.

∴四边形EDFG的周长的最小值为： +．

故答案是： +．