Question

【题目】如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，A（﹣5，0），与y轴交于C（0，﹣5），并且对称轴x＝﹣3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P在x轴上方的抛物线上，过P的直线y＝x+m与直线AC交于点M，与y轴交于点N，求PM+MN的最大值；

（3）点D为抛物线对称轴上一点，

①当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；

②若△ACD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣6x﹣5；（2）PM+MN的最大值为9；（3）①点D的坐标为（﹣3，2）或（﹣3，﹣8）；②D的纵坐标的取值范围是﹣8＜y＜﹣6或1＜y＜2

【解析】

（1）利用待定系数法求解可得；

（2）易得AC解析式为，作轴，交AC于H，作轴，设，由MN的解析式为知，据此得，再根据及二次函数的性质进一步求解可得；

（3）①设，先利用两点间的距离公式得到，再讨论：当△ACD是以AC为直角边、CD为斜边和以AC为直角边、AD为斜边的直角三角形时，分别解方程求出y即可得到对应的D点坐标；

②由于当△ACD是以AC为斜边的直角三角形时，，解方程得到y的值，然后结合图形可确定△ACD是锐角三角形时，点D纵坐标的取值范围．

（1）∵抛物线过，对称轴为直线

∴点B坐标为

可设抛物线解析式为

将点代入得

解得

则抛物线的解析式为

故抛物线的解析式为；

（2）设P点坐标为

∴直线AC解析式为

过点P作轴，交AC于H，作PG⊥y轴于G

∵MN的解析式为

由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为

故的最大值为；

（3）①设

则

当△ACD是以AC为直角边、CD为斜边的直角三角形时

，即

解得，则此时

当△ACD是以AC为直角边、AD为斜边的直角三角形时

，即

解得，则此时点

综上，点D的坐标为或；

②当△ACD是以AC为斜边的直角三角形时

，即

整理得

解得或

故当△ACD是锐角三角形时，点D纵坐标的取值范围是或．