Question

如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）连结OC交DE于点F，若sin∠ABC=，求的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，即∠ODE=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴O是AB的中点．
又∵D是BC的中点，．
∴OD∥AC．
∴∠DEC=∠ODE=90°．
∴DE⊥AC；

（2）解：连接AD．
∵OD∥AC，
∴．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
又∵D为BC的中点，
∴AB=AC．
∵sin∠ABC==，
故设AD=3x，则AB=AC=4x，OD=2x．
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠AED=90°．
∵∠DAC=∠EAD，
∴△ADC∽△AED．
∴．
∴AD²=AE•AC．
∴．
∴．
∴．
分析：（1）连接OD．根据三角形中位线定理判定OD是△ABC的中位线，则OD∥AC，所以∠DEC=∠ODE=90°，即DE⊥AC；
（2）连接AD．通过解直角三角形得到sin∠ABC==，故设AD=3x，则AB=AC=4x，OD=2x；由相似三角形△ADC∽△AED的对应边成比例得到AD²=AE•AC．则，，所以．
点评：本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．