Question

如图，AB=AC，AE是△ABC中BC边上的高线，点D在直线AE上一点（不与A、E重合）．
（1）证明：△ADB≌△ADC；
（2）当△AEB∽△BED时，若cos∠DBE=

2

3

，BC=8，求线段AE的长度．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形性质求出∠DAC=∠DAB，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据等腰三角形性质求出BE=CE=4，根据相似求出∠AEB=∠DEB=90°，解直角三角形求出BD、求出DE，根据相似得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）证明：∵AB=AC，AE是△ABC中BC边上的高线，
∴∠DAC=∠DAB，
在△ADB和△ADC中，

AB=AC ∠DAB=∠DAC AD=AD

∴△ADB≌△ADC（SAS）；

（2）解：∵AB=AC，AE是△ABC中BC边上的高线，BC=8，
∴CE=BE=4，
∵△AEB∽△BED，
∴∠AEB=∠DEB，
∵∠AEB+∠DEB=180°，
∴∠AEB=∠DEB=90°，
即AB⊥BD，
∵cos∠DBE=

2

3

=

BE

BD

，
∴BD=

4

2 3

=6，
由勾股定理得：DE=2

5

，
∵△AEB∽△BED，
∴

AE

BE

=

BE

DE

，
∴

AE

4

=

4

2 5

，
∴AE=

8 5

5

．

点评：本题考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的对应边的比相等．