Question

已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD⊥AD，垂足为D，连CD．求证：
（1）∠CDA=45°；
（2）AD-BD=

2

CD．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：证明题

分析：（1）根据BD⊥AD，可得∠ADB=90°，然后根据∠ACB=90°，证得A、B、C、D四点共圆，得出∠CDA=∠ABC，又根据△ABC为等腰直角三角形，可得出∠CDA=45°；
（2）在AD上取点E，使AE=BD，可得DE=AD-BD，然后根据A、B、C、D四点共圆得出∠1=∠2，证得△ACE≌△BCD，然后得出∠3=∠4，又根据∠ACB=∠3+∠BCE=90°，可得∠4+∠BCE=∠ECD=90°，结合（1）中结论，得出CD=CE，然后在Rt△DCE中，证得AD-BD=

2

CD．

解答：（1）证明：如图所示，∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠CDA=∠ABC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CDA=∠ABC=45°；
（2）解：在AD上取点E，使AE=BD，则DE=AD-BD，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠1=∠2，
在△ACE和△BCD中，
∵

AE=BD ∠1=∠2 AC=BC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠3+∠BCE=90°，
∴∠4+∠BCE=∠ECD=90°，
由（1）知，∠CDA=45°，
∴CD=CE，
则Rt△DCE中，
∵CD²+CE²=DE²，
∴DE=

2

CD，
∴AD-BD=

2

CD．

点评：本题考查了四点共圆，涉及了全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，关键是根据两个直角证得A、B、C、D四点共圆，难度较大．