Question

20．如图（a），（b），梯形ABCD中，AB∥CD，过A、B两点作一圆，与AD、BC（或它们的延长线）分别相交于E和F，求证：CDEF是圆内接四边形．

Answer 1

分析 图（a），根据梯形的性质可得∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，再根据圆内接四边形的性质可得∠B+∠AEF=180°，∠A+∠EFB=180°，进而可证得∠C=∠AEF，∠D=∠EFB，然后再证明∠D+∠EFC=180°，∠C+∠DEF=180°，从而得到CDEF是圆内接四边形，图（b）的证法与图（a）类似．

解答 证明：图（a），
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，
∵四边形ABFE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEF=180°，∠A+∠EFB=180°，
∴∠C=∠AEF，∠D=∠EFB，
∵∠DEF+∠AEF=180°，∠EFB+∠EFC=180°，
∴∠D+∠EFC=180°，∠C+∠DEF=180°，
∴CDEF是圆内接四边形；
图（b），
∵AB∥CD，
∴∠B+∠DCB=180°，∠A+∠ADC=180°，
∵四边形ABFE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEF=180°，∠A+∠EFB=180°，
∴∠DCB=∠AEF，∠ADC=∠EFB，
∵∠DCB+∠DCF=180°，∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠AEF+∠FCD=180°，∠DCF+∠DEF=180°，
∴CDEF是圆内接四边形．

点评 此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握对角互补的四边形是圆内接四边形．