Question

14．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，则正方形的面积为（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后判断出四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=$\frac{1}{2}$CD，再利用勾股定理列式求出CE，根据正方形的性质求出OC=OD=$\sqrt{2}$a，然后利用四边形OCED的面积列出方程求出a²，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COM=∠DON}\\{∠N=∠CMO=90°}\\{OC=OD}\end{array}\right.$
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM=ON，
∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为2a，
∵∠DCE=30°，∠CED=90°
∴DE=a，CE=$\sqrt{3}$a，
设DN=x，x+DE=CE-x，解得：x=$\frac{（\sqrt{3}-1）a}{2}$，
∴NE=x+a=$\frac{（\sqrt{3}+1）a}{2}$，
∵OE=$\sqrt{2}$NE，
∴$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$•$\frac{（\sqrt{3}+1）a}{2}$，
∴a=1，
∴S_{正方形ABCD}=4
故选B．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．