Question

5．如图，△ABC的∠ABC、∠ACB的外角的平分线交于点P．
（1）若∠ABC=50°，∠A=70°，求∠P的度数；
（2）若∠A=68°，求∠P的度数；
（3）根据以上计算，试写出∠P与∠A的数量关系．

Answer 1

分析 （1）首先根据三角形的外角的性质，求出∠CBD、∠BCE的度数和是多少；然后根据BP、CP分别是∠CBD、∠BCE的平分线，求出∠CBP、∠BCP的度数和是多少；最后根据三角形的内角和定理，求出∠P的度数是多少即可．
（2）首先根据三角形的外角的性质，求出∠CBD、∠BCE的度数和是多少；然后根据BP、CP分别是∠CBD、∠BCE的平分线，求出∠CBP、∠BCP的度数和是多少；最后根据三角形的内角和定理，求出∠P的度数是多少即可．
（3）首先根据三角形的外角的性质，求出∠CBD、∠BCE的度数和是多少；然后根据BP、CP分别是∠CBD、∠BCE的平分线，求出∠CBP、∠BCP的度数和是多少；最后根据三角形的内角和定理，判断出∠P与∠A的数量关系即可．

解答 解：（1）∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ACB=180°+∠A=180°+70°=250°，
∵BP、CP分别是∠CBD、∠BCE的平分线，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠CBD，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠CBP+∠BCP=（∠CBD+∠BCE）÷2=250°÷2=125°，
∴∠P=180°-125°=55°，
即∠P的度数是55°．

（2）∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ACB=180°+∠A=180°+68°=248°，
∵BP、CP分别是∠CBD、∠BCE的平分线，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠CBD，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠CBP+∠BCP=（∠CBD+∠BCE）÷2=248°÷2=124°，
∴∠P=180°-124°=56°，
即∠P的度数是56°

（3）∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ACB=180°+∠A，
∵BP、CP分别是∠CBD、∠BCE的平分线，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠CBD，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠CBP+∠BCP=（∠CBD+∠BCE）÷2=（180°+∠A）÷2=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠P=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
即∠P与∠A的数量关系为：∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 （1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．