Question

15．在平面直角坐标系中，直线y₁=$\frac{1}{3}$x+a和y₂=-$\frac{1}{4}$x+b交于点E（3，3），点P（m，n）在直线y₁=$\frac{1}{3}$x+a上，过点P（m，n）作x轴的垂线，交直线y₂=-$\frac{1}{4}$x+b于点F．
（1）若n=2，求△PEF的面积；
（2）若PF=2，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线y₁=$\frac{1}{3}x$+a和直线y₂=-$\frac{1}{4}x$+b的交点为E（3，3）求得a=2，b=$\frac{15}{4}$，得到直线y₁=$\frac{1}{3}x+2$和直线y₂=-$\frac{1}{4}x+\frac{15}{4}$，求得P（0，2），即可得到结果；
（2）由（1）知，点P在y₁=$\frac{1}{3}x$+2，点F在y₂=-$\frac{1}{4}x+\frac{15}{4}$，由于PF⊥x轴，可设P（m，$\frac{1}{3}m+2$），F（m，-$\frac{1}{4}m+\frac{15}{4}$），于是得到PF=|（$\frac{1}{3}m+2$）-（-$\frac{1}{4}m+\frac{15}{4}$）|=2即可得到结果．

解答 （1）解：∵直线y₁=$\frac{1}{3}x$+a和直线y₂=-$\frac{1}{4}x$+b的交点为E（3，3）
∴3=$\frac{1}{3}$×3+a，3=-$\frac{1}{4}$×3+b，
∴a=2，b=$\frac{15}{4}$，
得直线y₁=$\frac{1}{3}x+2$和直线y₂=-$\frac{1}{4}x+\frac{15}{4}$，如图所示，
又∵n=2，∴2=$\frac{1}{3}m+2$，m=0，
∴P（0，2），
过点P（0，2）作x轴的垂线，交y₂=-$\frac{1}{4}x+\frac{15}{4}$直线于点F，
F（0，$\frac{15}{4}$），
∴PF=$\frac{7}{4}$，
∴${S}_{△PEF}=\frac{1}{2}×\frac{7}{4}×3=\frac{21}{8}$，

（2）解：由（1）知，点P在y₁=$\frac{1}{3}x$+2，点F在y₂=-$\frac{1}{4}x+\frac{15}{4}$，
∵PF⊥x轴，可设P（m，$\frac{1}{3}m+2$），F（m，-$\frac{1}{4}m+\frac{15}{4}$），
∴PF=|（$\frac{1}{3}m+2$）-（-$\frac{1}{4}m+\frac{15}{4}$）|=2，
∴m=-$\frac{3}{7}$或m=$\frac{45}{7}$，
∴P（-$\frac{3}{7}$，$\frac{13}{7}$）或P（$\frac{45}{7}$，$\frac{29}{7}$）．

点评 本题考查了两直线相交或平行的问题，一次函数的性质，三角形的面积的求法，求点的坐标，正确的理解题意是解题的关键．