Question

求证：对任意整数n，（n²）²+6n³-n²-6n能被24整除．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：证明题

分析：利用提取公因式法对（n²）²+6n³-n²-6n进行因式分解，将其转化为n（n+6）（n+1）（n+2）的形式，因为2n，n+1，n+2是连续整数，则易推知（n²）²+6n³-n²-6n能被24整除．

解答：证明：n⁴+6n³-n²-6n=n3（n+6）-n（n+6）=n（n+6）（n+1）（n+2），
∵n，n+1，n+2是连续整数，
∴其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，一个是4的倍数，
∴n（n+6）（n+1）（n+2）能被24整除，
即（n²）²+6n³-n²-6n能被24整除．

点评：主要考查了分解因式的实际运用，解此类题目的关键是把（n²）²+6n³-n²-6n转化为n（n+6）（n+1）（n+2）的形式．