Question

20．问题背景：如图（1）在四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系．小吴探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B、C分别落在点A、E处（如图（2）），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=$\sqrt{2}$CD，从而得出结论：AC+BC=$\sqrt{2}$CD．
简单应用：
（1）在图（1）中，若AC=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，则CD=3；
（2）如图（3）AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AD=BD，若AB=13，BC=12，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）代入结论：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，直接计算即可；
（2）如图3，作辅助线，根据直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=∠ACB=90°，由弧相等可知所对的弦相等，得到满足图1的条件，所以AC+BC=$\sqrt{2}$CD，代入可得CD的长；

解答 解：（1）由题意知：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
∴$\sqrt{2}$+2 $\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=3；
故答案为：3；

（2）如图3，连接AC、BD、AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∵AB=13，BC=12，
∴由勾股定理得：AC=5，
由图1得：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
5+12=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=$\frac{17}{2}$$\sqrt{2}$；

点评 本题是圆和四边形的综合题，考查了圆周角定理、弦和弧的关系、勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会应用结论解决问题，属于中考常考题型．