Question

【题目】阅读材料：
材料1、若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ， x2 ， 则x1+x2= ， x1x2= ．
材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1=0，n2﹣n﹣1=0，且m≠n，求的值．
解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得
m+n=1，mn=﹣1
∴=
根据上述材料解决下面问题：
（1）一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两根为x1、x2 ， 则x1+x2= ， x1x2= ．
（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1=0，2n2﹣2n﹣1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）已知实数p、q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．

Answer 1

【答案】解：（1）x1+x2=﹣ ， x1x2=﹣；
故答案为﹣ ， ﹣；
（2）∵m、n满足2m2﹣2m﹣1=0，2n2﹣2n﹣1=0，
∴m、n可看作方程2x2﹣2x﹣1=0的两实数解，
∴m+n=1，mn=﹣ ，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=﹣×1=﹣；
（3）设t=2q，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，
则p与t（即2q）为方程x2﹣3x﹣2=0的两实数解，
∴p+2q=3，p2q=﹣2，
∴p2+4q2=（p+2q）2﹣2p2q=32﹣2×（﹣2）=13．
【解析】（1）直接根据根与系数的关系求解；
（2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程2x2﹣2x﹣1=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到m+n=1，mn=﹣ ， 接着把m2n+mn2分解得到mn（m+n），然后利用整体代入的方法计算；
（3）先设t=2q，代入2q2=3q+1化简得到t2=3t+2，根据p与t满足的等式可把p与t（即2q）为方程x2﹣3x﹣2=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到p+2q=3，p2q=﹣2，接着利用完全平方公式变形得到p2+4q2=（p+2q）2﹣2p2q，然后利用整体代入的方法计算．
【考点精析】掌握根与系数的关系是解答本题的根本，需要知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．