Question

如图（1），直线y=x与双曲线交于点A、C，且OA=OC=．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）以AC为对角线作矩形ABCD交x轴正半轴于B，交x轴负半轴于D，求点B、D坐标；
（3）如图（2），在（2）的条件下，点B₁、D₁分别在x轴正、负半轴上移动，AD₁交y轴于E，若∠B₁AD₁=∠BAD，则四边形AB₁，OE的面积S是否会发生变化？若不变求S值，若变化求S的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵点A在直线y=x上，设A（a，a），a＞0．作AM⊥x轴于M，
∴OM=AM=a，在Rt△AOM中，由勾股定理，得
OM²+AM²=OA²，
∴a²+a²=（）²，且a＞0，
∴a=1，
∴A（1，1），同理得C（-1，-1）．
∵点A在双曲线上，
∴k=1．

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BO=OD=．
∵点B在x轴的正半轴，点D在x轴的负半轴，
∴B（，0），D（-，0）

（3）S值不变，为1．
作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，
∴AM=AN=1，在矩形ABCD中∠BAD=90°，
∴∠B₁AD₁=∠BAD=90°，
∵AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，OM⊥ON，
∴∠MAN=90°，
∴∠B₁AM=∠EAN，
∵AM=AN，∠AMB₁=∠ANE=90°，
∴△B₁AM≌△EAN，
∴S_△B1AM=S_△EAN，
∴S_△B1AM+S_{四边形AEOM}=S_△EAN+S_{四边形AEOM}，
∴S_{四边形ANOM}=S_{四边形AEOB1}=AM•AN=1．
分析：（1）由点A在直线y=x上，设出点A的坐标，作AM⊥x轴于M，由勾股定理就可以求出AM的值，可以求出A的坐标，然后代入双曲线的解析式就可以求出k的值．
（2）由四边形ABCD是矩形可以得出OD=OB=OA，再根据D、B的位置矩形的性质就可以求出B、D的坐标．
（3）由条件∠B₁AD₁=∠BAD通过作辅助线AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，可以证明三角形全等可以得出四边形AB₁，OE的面积S是定值为正方形ANOM的面积．
点评：本题是一道反比例函数的综合试题，考查了点的坐标，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的运用，三角形全等的判定与性质．