Question

19．如图，△ABC中，AB=2，AC=3，1＜BC＜5，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形ABIH、BCDE和正方形ACFG，则图中阴影部分的最大面积为（　　）

• A． 6
• B． 9
• C． 11
• D． 无法计算

Answer 1

分析 有旋转的性质得到CB=BE=BH′，推出C、B、H'在一直线上，且AB为△ACH'的中线，得到S_△BEI=S_△ABH′=S_△ABC，同理：S_△CDF=S_△ABC，当∠BAC=90°时，即sin∠BAC=1，S_△ABC的面积最大，S_△BEI=S_△CDF=S_△ABC最大，推出S_△GBI=S_△ABC，于是得到阴影部分面积之和为S_△ABC的3倍，于是得到结论．

解答 解：把△IBE绕B顺时针旋转90°，使BI与AB重合，E旋转到H'的位置，
∵四边形BCDE为正方形，∠CBE=90°，CB=BE=BH′，
∴C、B、H'在一直线上，且AB为△ACH'的中线，
∴S_△BEI=S_△ABH′=S_△ABC，
同理：S_△CDF=S_△ABC，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sin∠BAC=$\frac{1}{2}$×2×3sin∠BAC=3sin∠BAC，
∴当∠BAC=90°时，
即sin∠BAC=1，S_△ABC的面积最大，
S_△BEI=S_△CDF=S_△ABC最大，
∵∠ABC=∠CBG=∠ABI=90°，
∴∠GBE=90°，
∴S_△GBI=S_△ABC，
所以阴影部分面积之和为S_△ABC的3倍，
又∵AB=2，AC=3，
∴图中阴影部分的最大面积为3×$\frac{1}{2}$×2×3=9，
故选B．

点评 本题考查了勾股定理，利用了旋转的性质：旋转前后图形全等得出图中阴影部分的最大面积是S_△ABC的3 倍是解题关键．