Question

如图，AD是△ABC的中线，F是AC上一点．且CF=2AF，连接BF交AD于点E．求证：BE=3EF．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：证明题

分析：首先过点D作DG∥BF，交AC于G，作DH∥AC，交BF于点H，再根据平行线分线段成比例定理可得

FG

FC

=

BD

BC

=

1

2

，然后证明△EHD≌△EFA可得HE=EF，进而得到BE=3EF．

解答：证明：过点D作DG∥BF，交AC于G，作DH∥AC，交BF于点H，
∵DH∥AC，DG∥BF，
∴四边形HDGF是平行四边形，
∴HD=FG，DG=HF，
∵AD是△ABC的中线，
∴DB=DC=

1

2

BC，DH=

1

2

FC，
∵DH∥FC，D为BC中点，
∴BH=HF，
∵DG∥BF，
∴

FG

FC

=

BD

BC

=

1

2

，
∴G为BF中点，
∴DG是△BFC的中位线，
∴FC=2GC=2FG=2HD，
∵CF=2AF，
∴HD=AF，
在△EHD和△EFA中

∠DHE=∠AFE ∠DEH=∠AEF DH=AF

，
∴△EHD≌△EFA（AAS），
∴HE=EF，
∴BE=3EF．

点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理，以及全等三角形的判定与性质，关键是证明△EHD≌△EFA．