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    1．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板与两直角边分别交于D，E两点．
    （1）图1中，线段PD与PE的数量关系是PD=PE．
    （2）在旋转过程中，判断△PDE的形状，并给予证明．
    （3）在旋转过程中，四边形PDCE的面积是否发生变化，若不变，求出面积的值（用含a的式子表示）；若改变，请说明理由．
    （4）在旋转过程中，当S△DPE=S△DCE，DE=2$\sqrt{2}$，求a的值．

    分析 （1）连接PC，根据等腰直角三角形的性质，判定△DCP≌△EBP（ASA），即可得出PD=PE；
    （2）根据全等三角形的性质得到PD=PE，再根据∠DPE=90°，即可得到△PDE是等腰直角三角形；
    （3）根据△DCP≌△EBP，可得S△DCP=S△EBP，再根据四边形PDCE的面积=S△DCP+S△ECP=S△EBP+S△ECP=S△BCP=$\frac{1}{2}$S△ABC进行计算即可；
    （4）先根据S△DPE=S△DCE，DE=2$\sqrt{2}$，求得S△DCE=2，设DC=x，CE=y，则BE=x，根据Rt△DCE中，$\frac{1}{2}$xy=2，x2+y2=（2$\sqrt{2}$）2，可得（x+y）2=16，据此可得x+y=4，即BE+CE=4，进而得到a的值．

    解答 解：（1）连接PC，
    ∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，P为AB的中点，
    ∴CP⊥AB，CP=$\frac{1}{2}$AB=BP，∠DCP=∠B=45°，
    ∵∠DPE=90°，
    ∴∠DPC=∠EPB，
    在△DCP和△EBP中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠DPC=∠EPB}\\{CP=BP}\\{∠DCP=∠B}\end{array}\right.$，
    ∴△DCP≌△EBP（ASA），
    ∴PD=PE，CD=BE，
    故答案为：PD=PE；

    （2）△PDE的形状为等腰直角三角形，
    证明：由（1）可得，PD=PE，
    又∵∠DPE=90°，
    ∴△PDE是等腰直角三角形；

    （3）四边形PDCE的面积不发生变化．
    理由：由（1）可得，△DCP≌△EBP，
    ∴S△DCP=S△EBP，
    ∴四边形PDCE的面积=S△DCP+S△ECP=S△EBP+S△ECP=S△BCP=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a2=$\frac{1}{4}$a2，
    ∴四边形PDCE的面积为定值$\frac{1}{4}$a2；

    （4）如图3，∵△PDE是等腰直角三角形，DE=2$\sqrt{2}$，
    ∴DP=EP=2，
    ∴S△DPE=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
    ∴S△DCE=2，
    设DC=x，CE=y，则BE=x，
    ∵Rt△DCE中，$\frac{1}{2}$xy=2，x2+y2=（2$\sqrt{2}$）2，
    ∴（x+y）2=16，
    ∵x+y＞0，
    ∴x+y=4，
    即BE+CE=4，
    ∴a的值为4．

    点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行求解．解题时注意，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．

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