Question

11．如图，抛物线M：y=（x+1）（x+a）（a＞1）交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴于C点．抛物线M关于y轴对称的抛物线N交x轴于P、Q两点（P在Q的左边）
（1）直接写出A、C坐标：A（-a，0），C（0，a）；（用含有a的代数式表示）
（2）在第一象限存在点D，使得四边形ACDP为平行四边形，请直接写出点D的坐标（用含a的代数式表示）；并判断点D是否在抛物线N上，说明理由．
（3）若（2）中平行四边形ACDP为菱形，请确定抛物线N的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得x，则可求得A、B坐标，令x=0可求得C点坐标；
（2）可先求得抛物线N的解析式，则可求得P点坐标，由平行四边形的性质可知CD=AP，则可求得D点坐标；
（3）由菱形的性质可知AC=AP，则可得到关于a的方程，可求得抛物线N的解析式．

解答 解：
（1）在y=（x+1）（x+a）中，令y=0可得（x+1）（x+a）=0，解得x=-1或x=-a，
∵a＞1，
∴-a＜-1，
∴A（-a，0），B（-1，0），
令x=0可得y=a，
∴C（0，a），
故答案为：-a，0；0，a；
（2）∵抛物线N与抛物线M关于y轴对称，
∴抛物线N的解析式为y=（x-1）（x-a），
令y=0可解得x=1或x=a，
∴P（1，0），Q（a，0），
∴AP=1-（-a）=1+a，
∵四边形ACDP为平行四边形，
∴CD∥AP，且CD=AP，
∴CD=1+a，且OC=a，
∴D（1+a，a）；
（3）∵A（-a，0），C（0，a），
∴AC=$\sqrt{2}$a，
当四边形ACDP为菱形时则有AP=AC，
∴$\sqrt{2}$a=1+a，解得a=$\sqrt{2}$+1，
∴抛物线N的解析式为y=（x-1）（x-$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、轴对称、平行四边形的性质、菱形的性质、勾股定理等知识．在（1）中注意函数图象与坐标轴交点的求法，在（2）中由平行四边形的性质求得AP=CD、AP∥CD是解题的关键，在（3）中由菱形的性质得到AC=AP是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．