Question

（1）如图1，点E、F、G分别是?ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：△BEF≌△DGH．
（2）如图2，△ABC中，cosB=

2

2

，sinC=

3

5

，AC=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由点E、F、G分别是?ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，易得∠B=∠D，BE=DG，BF=DH．则可证得：△BEF≌△DGH．
（2）首先过点A作AD⊥BC于D，由cosB=

2

2

，sinC=

3

5

，AC=5，易得AD=BD，求得AD的长，继而求得BC的长，则可求得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，BC=AD．
又∵E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的四边中点，
∴BE=DG，BF=DH．
在△BEF和△DGH中，

BE=DG ∠B=∠D BF=DH

，
∴△BEF≌△DGH（SAS）．

（2）解：过点A作AD⊥BC于D，
∵△ABC中，cosB=

2

2

，sinC=

3

5

，AC=5，
∴cosB=

2

2

=

BD

AB

，
∴∠B=45°，
∵sinC=

3

5

=

AD

AC

=

AD

5

，
∴AD=3，
∴CD=4，
∴BD=3，
∴△ABC的面积是：

1

2

×AD×BC=

1

2

×3×（3+4）=

21

2

．

点评：此题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质与解直角三角形的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．