Question

19．由从1开始的连续自然数组成如下三角形的数表，观察规律并完成解答．

（1）从表中我们发现：第10行的最后一个数是100；我们猜想：第n行的最后一个数应为n²．
（2）求第10行各数之和．
（3）第n行各数之和是2n³-3n²+3n-1（直接写答案）．

Answer 1

分析 （1）只观察第一行的最后一个数，发现是行数的平方；
（2）先计算每行有几个数，还要知道第9行的最后一个数为81，所以第10行的第一个数为82，最后一个数为100，再计算第10行的和；
（3）先表示每行有几个数，还要知道第n-1行的最后一个数为（n-1）²，所以第n行的第一个数为（n-1）²+1，最后一个数为n²，再计算第n行的和；

解答 解：（1）由表得：第1行的最后一个数是：1=1²，
第2行的最后一个数是：4=2²，
第3行的最后一个数是：9=3²，
第4行的最后一个数是：16=4²，
所以第10行的最后一个数是：102=100，
则第n行的最后一个数应为：n²，
故答案为：100；n²；
（2）由条件知：第10行一共有：2×10-1=19个数，
第10行的所有数为：82，83，84，85，…，97，98，99，100；
∴第10行各数之和为：$\frac{82+100}{2}$×19=1729；
（3）第n行一共有：（2n-1）个数，
第n行的第一个数为（n-1）²+1，最后一个数为n²，
所以第n行各数之和是：$\frac{（n-1）^{2}+1+{n}^{2}}{2}$×（2n-1）=（n²-n+1）（2n-1）=2n³-3n²+3n-1．

点评 本题是数字类的变化题，要认真观察图形，找行与列中特殊位置数的规律；如每行有几个数，每行最后一个数或第一个数哪个数的规律比较简单或明显，从此入手，解决问题．