Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．
求证：∠AED=∠DCB．

Answer 1

分析 首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=$\frac{1}{2}$AB=DB，由等边对等角得到∠B=∠DCB．再根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AED=90°，∠A+∠B=90°，那么根据同角的余角相等得出∠B=∠AED，等量代换即可得出∠AED=∠DCB．

解答 证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=DB，
∴∠B=∠DCB．
∵DE⊥AB于点D，
∴∠A+∠AED=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠AED，
∴∠AED=∠DCB．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，余角的性质．