Question

已知：二次函数的表达式为y=2x²+4x-1．
（1）设这个函数图象的顶点坐标为P，与y轴的交点为A，求P、A两点的坐标；
（2）将二次函数的图象向上平移1个单位，设平移后的图象与x轴的交点为B、C（其中点B在点C的左侧），求B、C两点的坐标及tan∠APB的值．

Answer 1

解：（1）y=2x²+4x-1=2（x²+2x）-1=2（x+1）²-3，
∴顶点P的坐标为：P（-1，-3），
当x=0时，y=-1，
∴与y轴的交点坐标为：A（0，-1）；

（2）平移后的解析式为：y=2x²+4x．
令y=0，得2x²+4x=0，
∴x₁=0，x₂=-2．
∴平移后的图象与x轴的交点坐标为：B（-2，0），C（0，0）；
由A（0，-1），B（-2，0），P（-1，-3），
可得：AB=，AP=，PB=．
∴AB²+AP²=PB²．
∴∠PAB=90°．
∴tan∠APB==1．
分析：（1）利用配方法将原函数解析式变为y=2（x+1）²-3，则可求得这个函数图象的顶点坐标P，又由x=0时，y=-1，求得点A的坐标；
（2）首先求得平移后的二次函数的解析式，则可求得B、C的坐标，然后求得AB，AP，PB的长，则可得∠PAB=90°，则问题得解．
点评：此题考查了二次函数一般式与顶点式的转化，勾股定理的应用以及二次函数与一元二次方程的关系等知识．此题难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．