Question

10．已知抛物线y=a（x+m）²+k与抛物线y=（x+1）²+3有相同的顶点且经过点A（0，1）．
（1）求此二次函数的表达式，并求出顶点P的坐标；
（2）求点A（0，1）关于对称轴的对称点B的坐标及△APB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得抛物线的解析式为y=a（x+1）²+3，然后代入A（0，1），根据待定系数法求得a的值；
（2）把y=1代入求得的解析式，即可求得对称点B的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△APB的面积．

解答 解：（1）由抛物线y=a（x+m）²+k可知顶点坐标为（-m，k），由抛物线y=（x+1）²+3可知顶点坐标为（-1，3），
∵抛物线y=a（x+m）²+k与抛物线y=（x+1）²+3有相同的顶点，
∴-m=-1，k=3，
∴m=1，k=3，
∴抛物线y=a（x+m）²+k为y=a（x+1）²+3，
代入A（0，1）得，1=a+3，
∴a=-2，
∴此二次函数的表达式为y=-2（x+1）²+3，顶点P的坐标为（-1，3）；
（2）∵点A（0，1），
∴把y=1代入得1=-2（x+1）²+3，解得x=0或x=-2，
∴点A（0，1）关于对称轴的对称点B的坐标为（-2，1），
∴△APB的面积=$\frac{1}{2}$×2×2=2．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．