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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与抛物线yax2+bx交于点A60)和点B1,﹣5).

1)求这条抛物线的表达式和直线AB的表达式;

2)如果点C在直线AB上,且∠BOC的正切值是,求点C的坐标.

【答案】1yx26xyx6;(2C,﹣).

【解析】

1)利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式;

2)先说明OA=OH=6,则∠OAH=45°,作辅助线,根据正切值证明∠BOC=OBE,作OB的垂直平分线交ABC,交OBF,解法一:先根据中点坐标公式可得F),易得直线OB的解析式为:y=5x,根据两直线垂直的关系可得直线FC的解析式为:y,列方程x6,解出可得C的坐标;

解法二:过CCDx轴于D,连接OC,设Cmm6),根据OC=BC,列方程可得结论.

1)把点A60)和点B1,﹣5)代入抛物线y=ax2+bx得:

,解得:,∴这条抛物线的表达式:y=x26x,设直线AB的解析式为:y=kx+b,把点A60)和点B1,﹣5)代入得:,解得:,则直线AB的解析式为:y=x6

2)当x=0时,y=6,当y=0时,x=6,∴OA=OH=6

∵∠AOH=90°,∴∠OAH=45°,过BBGx轴于G,则△ABG是等腰直角三角形,∴AB=5,过OOEABESAOHAHOEOAOH6OE=6×6OE=3,∴BE=ABAE=5RtBOE中,tanOBE

∵∠BOC的正切值是,∴∠BOC=OBE,∴OC=CB.作OB的垂直平分线交ABC,交OBF,解法一:∵B1,﹣5),∴F),易得直线OB的解析式为:y=5x,设直线FC的解析式为:yx+b,把F)代入得:bb,∴直线FC的解析式为:yx6x,当x时,y,∴C);

解法二:过CCDx轴于D,连接OC,设Cmm6),则AC6m).

OC=BC,∴m2+m62=[56m]m,∴C).

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ac0

③2ab0

b24ac0

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x

3

2

1

0

1

2

3

y

4

4

0

(1)求该抛物线的表达式;

(2)已知点E(4 y)是该抛物线上的点,点E关于抛物线的对称轴对称的点为点F,求点E和点F的坐标.

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