Question

7．如图1，P为平行四边形ABCD内一点，PB=AB，∠ABP=∠ADP=90°．
（1）请在四边形ABPD内画一条线段，把四边形ABPD分成两部分，再将这两部分重新拼成一个正方形，画出简图并说明理由；
（2）如图2，连结PC，求∠BCP的度数．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点B作BE⊥AD于E，延长DP交BC于F，线段BE把四边形ABPD分成△ABE和四边形BEDP，将△BAE绕点B顺时针旋转90°到△BPF的位置，由平行四边形的性质得到∠EBC=90°，再理由等角的余角相等得到∠ABE=∠PBF，则可证明△BAE≌△BPF，所以BE=BF，于是可判定四边形BEDF为正方形；
（2）延长DP交BC于F，如图2，同样方法可证明△DCF≌△BPF得到CF=PF，则△PCF为等腰直角三角形，从而得到∠BCP=45°．

解答 解：（1）如图1，过点B作BE⊥AD于E，延长DP交BC于F，线段BE把四边形ABPD分成△ABE和四边形BEDP，将△BAE绕点B顺时针旋转90°到△BPF的位置，则四边形BEDF为正方形．
理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴BE⊥BC，
∴∠EBC=90°，
∵∠ADP=90°．
∴∠DFB=90°，
∵∠ABP=90°．
∴∠ABE=∠PBF，
在△BAE和△BPF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠PFB}\\{∠ABE=∠PBF}\\{BA=BP}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BPF，
∴BE=BF，
∴四边形BEDF为正方形；

（2）延长DP交BC于F，如图2，
与（1）一样可证明△DCF≌△BPF，
∴CF=PF，
∴△PCF为等腰直角三角形，
∴∠BCP=45°．

点评 本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了正方形的判定．