Question

12、已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系为

∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°，∠C是小于45°的任意角．

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Answer 1

分析：设过B的直线交AC于D．因为没有指明是哪两个边相等，故应该分情况进行分析，从而求解．

解答：解：设过B的直线交AC于D．
∵BC≠BD（如果他们相等的话，则∠BAC比∠C还小，与题设矛盾），
∴BD=CD．
①若AB=BD，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB=∠C+∠CBD=2∠C．
∵∠A+∠C+∠ABC=2∠C+∠C+∠ABC=180°，
∴∠ABC+3∠C=180°，
∴∠ABC=180°-3∠C．
②若BD=AD．
∵BD=AD，BD=CD，
∴DB=DC=DA，
∴∠ABC=90°，
∵∠C是最小的角，
∴∠C是小于45°的任意角．
故答案为：∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°，∠C是小于45°的任意角．

点评：此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．