【题目】已知AB是⊙O的直径,点P在弧AB上(不含点A、B),把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在⊙O上.
(1)当P、C都在AB上方时(如图1),判断PO与BC的位置关系(只回答结果);
(2)当P在AB上方而C在AB下方时(如图2),(1)中结论还成立吗?证明你的结论;
(3)当P、C都在AB上方时(如图3),过C点作CD⊥直线AP于D,且CD是⊙O的切线,求证:AB=4PD.
【答案】(1)PO∥BC;(2)成立,理由详见解析;(3)详见解析.
【解析】试题分析:(1)PO与BC的位置关系是平行;
(2)中的结论成立,理由为:由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等,根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO,再由OA=OP,利用等边对等角得到∠A=∠APO,等量代换可得出∠A=∠CPO,又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB,再等量代换可得出∠CPO=∠PCB,利用内错角相等两直线平行,可得出PO与BC平行;
(3)由CD为圆O的切线,利用切线的性质得到OC垂直于CD,又AD垂直于CD,利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行,根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP,再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP,等量代换可得出∠APO=∠AOP,再由OA=OP,利用等边对等角可得出一对角相等,等量代换可得出三角形AOP三内角相等,确定出三角形AOP为等边三角形,根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°,由OP平行于BC,利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°,再由OB=OC,得到三角形OBC为等边三角形,可得出∠COB为60°,利用平角的定义得到∠POC也为60°,再加上OP=OC,可得出三角形POC为等边三角形,得到内角∠OCP为60°,可求出∠PCD为30°,在直角三角形PCD中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半,而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半,可得出PD为AB的四分之一,即AB=4PD,得证.
试题解析:(1)PO与BC的位置关系是PO∥BC;
(2)(1)中的结论PO∥BC成立,理由为:由折叠可知:△APO≌△CPO,
∴∠APO=∠CPO,又∵OA=OP,∴∠A=∠APO,∴∠A=∠CPO,
又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角,∴∠A=∠PCB,∴∠CPO=∠PCB,
∴PO∥BC;
(3)∵CD为圆O的切线,∴OC⊥CD,又AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠APO=∠COP,
由折叠可得:∠AOP=∠COP,∴∠APO=∠AOP,又OA=OP,∴∠A=∠APO,
∴∠A=∠APO=∠AOP,∴△APO为等边三角形,∴∠AOP=60°,又∵OP∥BC,
∴∠OBC=∠AOP=60°,又OC=OB,∴△BCO为等边三角形,∴∠COB=60°,
∴∠POC=180°﹣(∠AOP+∠COB)=60°,又OP=OC,
∴△POC也为等边三角形,
∴∠PCO=60°,PC=OP=OC,
又∵∠OCD=90°,
∴∠PCD=30°,
在Rt△PCD中,PD=PC,
又∵PC=OP=AB,
∴PD=AB,即AB=4PD.
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【题目】如图,P为反比例函数(k>0)在第一象限内图象上的一点,过点P分别作x轴,y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B.若∠AOB=135°,则k的值是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
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【题目】如图,方格纸中每个小正方形的边长都是单位1,△ABC的三个顶点都在格点上,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(1)将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度,画出两次平移后的△A1B1C1;
(2)写出A1、C1的坐标;
(3)将△A1B1C1绕C1逆时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C1,求线段B1C1旋转过程中扫过的面积(结果保留π).
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【题目】雾霾已经成为现在生活中不得不面对的重要问题,PM2.5是大气中直径小于或等于0.000 002 5米的颗粒物,将0.000 002 5用科学记数法表示为( )
A.2.5×10﹣6
B.0.25×10﹣6
C.2.5×10﹣5
D.0.25×10﹣5
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【题目】以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.
(1)求MA,DM的长;
(2)求证:AM2=AD·DM.
(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,D、T是圆上的两点,且AT平分∠BAD,过点T作AD的延长线的垂线PQ,垂足为C.
(1)求证:PQ是⊙O的切线;
(2)已知⊙O的半径为2,若过点O作OE⊥AD,垂足为E,OE=,求弦AD的长.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线y=-x+1与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于点A(1,0)和点D(-4,5),并与y轴交于点C,抛物线的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴交于另一点B.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)若点E是直线下方抛物线上的一个动点,求出△ACE面积的最大值;
(3)如图2,若点M是直线x=-1的一点,点N在抛物线上,以点A,D,M,N为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能,请直接写出点M的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】(14分)如图,已知抛物线()与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C,且OC=OB.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE,CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求出此时点E的坐标;
(3)点P在抛物线的对称轴上,若线段PA绕点P逆时针旋转90°后,点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上,求点P的坐标.
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【题目】如图,某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为7.2 m,拱高CD为2.4 m.
(1)求拱桥的半径;
(2)现有一艘宽3 m,船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里,问此货船能顺利通过拱桥吗?
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