Question

1．如图，若AC=BD，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD的中点．求证：四边形EFGH为正方形．

Answer 1

分析 由三角形中位线定理可先证明四边形EFGH为平行四边形，再由AC=BD，可证明其为菱形，结合AC⊥BD，可得∠FEH=90°，可证明四边形EFGH为正方形．

解答 证明：∵E，F是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理可得HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
同理可得EH∥FG，EH=$\frac{1}{2}$BD，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH为正方形．

点评 本题主要考查正方形的判定及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH为菱形是解题的关键．