已知，如图l1∥l2，点A、B在直线l1上，AB=3，过点A作AC⊥l2，垂足为点C，AC=4，过点A的直线与直线l2交于点P，以点C为圆心，CP为半径作⊙C．分析 （1）利用勾股定理得出AP的长，再利用锐角三角函数关系求出即可；
（2）利用当⊙C与⊙B相外切时以及当⊙C与⊙B相内切时分别得出即可；
（3）利用当QB=BC=5以及CQ=BC=5时分别得出QC，BQ的长，进而得出⊙C的半径CP的长．
解答 
解：（1）如图1，过点C作CH⊥AP于H，
∵AC⊥l2，AC=4，CP=1，
∴在Rt△ACP中，AP=$\sqrt{A{C}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴sin∠CAP=$\frac{CP}{AP}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
∴∠CAP+∠ACH=∠PCH+∠ACH=90°，
∴∠PCH=∠CAP，
∴在Rt△PCH中，PH=CP×sin∠PCH=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
∴直线AP被⊙C截得的弦长为2PH=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$；
（2）当⊙C与⊙B相外切时，
∵AB=3，AC=4，AC⊥l2，
∴BC=5，CP=5-3=2，
当⊙C与⊙B相内切时，CP=5+3=8，；
（3）若QC=QB，不合题意；
如图2，若QB=BC=5，过B作BG⊥CP于G，
∵l1∥l2，AC⊥l2，
∴BG=AC=4，CG=GQ=3，
∴CQ=6，
∴当⊙Q与⊙C外切时，CP=CQ-QB=6-5=1，
如图3，若CQ=BC=5，过B作BM⊥CP于M，
∴BM=AC=4，CM=3，
∴QM=2，
在Rt△MB中，
QB=$\sqrt{B{M}^{2}+Q{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故当⊙Q与⊙C外切时，CP=CQ-BQ=5-2$\sqrt{5}$，
综上所述：⊙C的半径CP的长为：1或5-2$\sqrt{5}$．
点评 此题主要考查了勾股定理以及圆的综合应用、相切的性质、等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出CP的长是解题关键．
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