Question

3．如图，AB为半⊙O的直径，C为弧AB上一点，D为弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F．求证：
（1）DF=AF；
（2）DE=$\frac{1}{2}$AC．

Answer 1

分析 （1）如图，连接BD；首先证明∠DAC=∠ABD；其次证明∠ADE=∠ABD，得到∠ADE=∠DAC，即可解决问题．
（2）如图，连接OD；首先证明AG=GC；其次证明DE=AG，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接BD；OD交AC于点G；
∵D为弧AC的中点，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，∠DAC=∠ABD；
∵AB为半⊙O的直径，且DE⊥AB，
∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD，
∴∠ADE=∠ABD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴DF=AF．
（2）如图，连接OD；
∵D为弧AC的中点，
∴OD⊥AC，AG=GC；
在△ADE与△DAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAG=∠ADE}\\{∠AGD=∠DEA}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DAG（AAS），
∴DE=AG，
∵AG=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC．

点评 该题主要考查了垂径定理、圆周角定理及其推论、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用垂径定理、圆周角定理及其推论等知识点来分析、判断、解答．