Question

7．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的直径，点B为⊙O上一点，满足BC∥OP．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，求sin∠APB的值．

Answer 1

分析 （1）连接OB，证明△AOP≌△BOP，得出对应角相等，∠OBP=∠OAP=90°，即可得出结论；
（2）连接AB交OP于点M，过A作AB⊥BP于点Q，先求出cos∠BAP=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{3}{5}$，令AM=3，AP=5，得出PM=4，AB=5，BP=6，根据面积求出AQ，再由锐角三角函数的定义即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OB；如图所示：
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵OP∥BC，
∴∠1=∠C，∠2=∠3，
∵OC=OB，
∴∠C=∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOP和△BOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}&{\;}\\{∠1=∠2}&{\;}\\{OP=OP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥BP，且OB为半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）连接AB交OP于点M，过A作AQ⊥BP于点Q；如图所示：
∵AP、BP为⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵AO=BO，
∴OP垂直平分AB，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠CAB=90°，
∵∠CAB+∠BAP=90°，
∴∠C=∠BAP，
∴cos∠BAP=cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，
∵AB⊥OP，
∴∠AMP=90°，
∴cos∠BAP=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{3}{5}$，
令AM=3，AP=5，
∴PM=4，AB=5，BP=6，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AQ•BP=$\frac{1}{2}$AB•PM，
∴AQ=$\frac{AB•PM}{BP}$=$\frac{24}{5}$，
∵AQ⊥BP，
∴∠AQP=90°，
∴sin∠APB=$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{\frac{24}{5}}{5}$=$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、三角形面积的计算方法；熟练掌握切线的判定与性质进行有关计算是解决问题的关键．