Question

如图，已知抛物线与轴相交于A、B两点，与轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）.

（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；
（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥轴，求MN的最大值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）抛物线的解析式为y=x²+x+4，对称轴为直线x=3；
（2）△AOC∽△COB．理由见解析；
（3）4；
（4）Q1（3，4+），Q2（3，4-），Q3(3，0).

试题分析：
（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值，即可得到抛物线解析式，再根据对称轴方程列式计算即可得解；
（2）令y=0，解方程求出点A的坐标，令x=0求出y的值得到点C的坐标，再求出OA、OB、OC，然后根据对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据二次函数的最值问题解答；
（4）利用勾股定理列式求出AC，过点C作CD⊥对称轴于D，然后分①AC=CQ时，利用勾股定理列式求出DQ，分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离，再写出点的坐标即可；②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=CQ，再写出点Q的坐标即可．
试题解析：
（1）∵点B（8，0）在抛物线y=x²+bx+4上，
∴×64+8b+4=0，
解得b=，
∴抛物线的解析式为y=x²+x+4，
对称轴为直线x=；
（2）△AOC∽△COB．
理由如下：令y=0，则x²+x+4=0，
即x²-6x-16=0，
解得x₁=-2，x₂=8，
∴点A的坐标为（-2，0），
令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
∴OA=2，OB=8，OC=4，
∵=2，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x+4，
∵MN∥y轴，
∴MN=x²+x+4-（x+4），
=x²+x+4+x-4，
=x²+2x，
=（x-4）²+4，
∴当x=4时，MN的值最大，最大值为4；
（4）由勾股定理得，AC=，
过点C作CD⊥对称轴于D，则CD=3，
①AC=CQ时，DQ=，
点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+，
此时点Q1（3，4+），
点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4-，
此时点Q2（3，4-），
②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=5，
CQ=，
∴AQ=CQ，
此时，点Q3（3，0），
综上所述，点Q的坐标为（3，4+）或（3，4-）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形时．