Question

20．如图，抛物线y=x²+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从点C沿抛物线向A点运动（运动到A点停止），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求对称轴上一点M的坐标，使MC+MD最短；
（3）点P在运动过程中，△APD 能否与△AOC相似？若能，求出点P的坐标，若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（3，0），B（1，0）的坐标代入y=x²+bx+c，转化为解方程组即可．
（2）如图1中，作点C关于对称轴的对称点C′，过点C′作C′D′⊥AC．求出D′的坐标，因为MC+MD=MC′+MD，根据垂线段最短可知，当点M、点D与D′重合时，MC+MD最短，由此即可解决问题．
（3）分两种情形①当点P与B重合时，因为PD∥CO，所以△APD∽△AOC，此时P（1，0）．②当P′A⊥AC时，因为∠AD′P′=∠ACO，∠P′AF′=∠AOC，所以△P′AD′∽△AOC，
求出直线AP′的解析式，构建方程组即可解决问题．

解答 解：（1）把A（3，0），B（1，0）的坐标代入y=x²+bx+c
得$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{1+b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．

（2）如图1中，作点C关于对称轴的对称点C′，过点C′作C′D′⊥AC．

∵直线AC的解析式为y=-x+3，C′（4，3），
∴直线C′D′的解析式为y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-x-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴D′（2，1），
∵MC+MD=MC′+MD，
根据垂线段最短可知，当点M、点D与D′重合时，MC+MD最短，
∴当M（2，1）时，MC+MD最短．

（3）能．理由如下，
如图2中，

①当点P与B重合时，∵PD∥CO，
∴△APD∽△AOC，
此时P（1，0）．
②当P′A⊥AC时，∵∠AD′P′=∠ACO，∠P′AF′=∠AOC，
∴△P′AD′∽△AOC，
此时直线AP′的解析式为y=x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴P′（2，-1），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，0）或（2，-1）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、垂线段最短、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，所以中考压轴题．