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【题目】如图所示,是一块锐角三角形余料,边毫米,高毫米,要把它加工成一个矩形零件,使矩形的一边在上,其余两个顶点分别在上,设该矩形的长毫米,宽毫米.

1)求证:

2)当分别取什么值时,矩形的面积最大?最大面积是多少?

3)当矩形的面积最大时,它的长和宽是关于的一元二次方程的两个根,而的值又恰好分别是1012135个数据的众数与平均数,试求的值.

【答案】(1)详见解析;(2)当毫米,毫米时,矩形面积最大,最大面积为2400平方毫米;(3a=10b=15a=15b=10.

【解析】

1)易证△APN∽△ABC,根据相似三角形对应边的比等于对应高的比,即可求解;
2)矩形PQMN的面积S=xy,根据(1)中yx的函数关系式,即可得到Sx之间的函数关系,根据函数的性质即可求解;
3)根据(2)中求得的长与宽的数值,利用根与系数的关系即可求得pq的数值,根据众数与中位数的定义即可求得ab的值.

1)证明:根据已知条件易知:PNBCAEPNPN=QM=yDE=MN=x

,即

2)解:设矩形PQMN的面积为S,则

∴当时,有最大值2400

此时,故当毫米,毫米时,矩形面积最大,最大面积为2400平方毫米;

3)解:由根与系数的关系,得,解得

101213众数为10

时,有,解得

时,同理可得.

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