【题目】如图所示,是一块锐角三角形余料,边毫米,高毫米,要把它加工成一个矩形零件,使矩形的一边在上,其余两个顶点分别在,上,设该矩形的长毫米,宽毫米.
(1)求证:;
(2)当与分别取什么值时,矩形的面积最大?最大面积是多少?
(3)当矩形的面积最大时,它的长和宽是关于的一元二次方程的两个根,而,的值又恰好分别是,10,12,13,这5个数据的众数与平均数,试求与的值.
【答案】(1)详见解析;(2)当毫米,毫米时,矩形面积最大,最大面积为2400平方毫米;(3)a=10,b=15或a=15,b=10.
【解析】
(1)易证△APN∽△ABC,根据相似三角形对应边的比等于对应高的比,即可求解;
(2)矩形PQMN的面积S=xy,根据(1)中y与x的函数关系式,即可得到S与x之间的函数关系,根据函数的性质即可求解;
(3)根据(2)中求得的长与宽的数值,利用根与系数的关系即可求得p,q的数值,根据众数与中位数的定义即可求得a与b的值.
(1)证明:根据已知条件易知:PN∥BC,AE⊥PN,PN=QM=y,DE=MN=x,
∴,
∴,即,
∴,;
(2)解:设矩形PQMN的面积为S,则
,,
∴当时,有最大值2400,
此时,故当毫米,毫米时,矩形面积最大,最大面积为2400平方毫米;
(3)解:由根与系数的关系,得,解得,
∵,10,12,13,众数为10,
∴或,
当时,有,解得 ,
当时,同理可得.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,△ABC的外角平分线BD交⊙O于D,DE∥AC交CB的延长线于E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若∠A=30°,BD=3,求BC的长.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连结EF、EO,若DE=,∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,点B、C、D都在上,过点C作交OB延长线于点A,连接CD,且,.
(1)直线AC与有怎样的位置关系?为什么?
(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积(结果保留)
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AC=10cm,BC=6cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以2cm/s的速度,沿AB向终点B移动;点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动,其中一点到终点,另一点也随之停止.连接PQ.设动点运动时间为x秒.
(1)用含x的代数式表示BQ、PB的长度;
(2)当x为何值时,△PBQ为等腰三角形;
(3)是否存在x的值,使得四边形APQC的面积等于20cm2?若存在,请求出此时x的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知菱形的边长为2,=60°,对角线,相交于点O.以点O为坐标原点,分别以,所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系.以为对角线作菱形∽菱形,再以为对角线作菱形∽菱形,再以为对角线作菱形∽菱形,,按此规律继续作下去,在x轴的正半轴上得到点,,,......,,则点的坐标为________.
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【题目】如图,四边形是的内接正方形,,、是的两 条切线,、为切点.
(1)如图1,求的半径;
(2)如图1,若点是的中点,连结,求的长度;
(3)如图2,若点是边上任意一点(不含、),以点为直角顶点,在的上方作,交直线于点,求证:.
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【题目】抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)一动点P在(1)中抛物线上滑动且满足S△ABP=10,求此时P点的坐标.
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【题目】商城某种商品平均每天可销售20件,每件盈利30元,为庆元旦,决定进行促销活动,经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设该商品每件降价元,请解答下列问题
(1)用含的代数式表示:
①降价后每售一件盈利 元;
②降价后平均每天售出 件;
(2)在此次促销活动中,商城若要获得最大盈利,每件商品应降价多少元?获得最大盈利多少元?
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