Question

【题目】如图，点B、C、D都在上，过点C作交OB延长线于点A，连接CD，且，．

（1）直线AC与有怎样的位置关系？为什么？

（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留）

Answer 1

【答案】（1）直线AC与相切，见解析；（2）阴影部分的面积（）.

【解析】

（1）连结BC、OD、OC，OC交BD于E，如图，根据圆周角定理得∠BOC=2∠BDC=60°，再根据平行线的性质，由AC∥BD得∠A=∠OBD=30°，则∠ACO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC为⊙O的切线；

（2）根据平行线的性质，由OC⊥AC，BD∥AC得OC⊥BD，再利用垂径定理得BE=DE=BD=3，则利用∠OBE=30°，可计算出OE=BE=3，OB=2OE=6，接着判断四边形BODC为菱形，得到S△CDE=S△OBE，所以由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积，然后根据扇形面积公式求解．

解：（1）直线AC与相切．

理由如下：连结BC、OD、OC，OC交BD于E，如图，

∵，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴AC为的切线；

（2）∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴OC和BD互相垂直平分，

∴四边形BODC为菱形，

∴，

∴阴影部分的面积（）.