Question

已知：如图，A（a，m），B（2a，n）是反比例函数图象上的两点，分别过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA，OB．
（1）求证：S_△AOC=S_△OBD；
（2）若A，B两点又在一次函数的图象上，且S_△OAB=8，求a的值．

Answer 1

（1）证明：∵A（a，m），B（2a，n）是反比例函数上，且AC⊥OC，BD⊥OD，
∴am=k，2an=k，
∵S_△AOC=OC•AC=a×m=k，S_△BOD=OD×BD=×2a×n=k，
∴S_△AOC=S_△OBD；

（2）解：∵A，B两点在一次函数y=-x上，
∴A点坐标可表示为（a，-a+b），B点坐标表示为（2a，-a+b），
∵A，B在是反比例函数上，
∴a•（-a+b）=2a•（-a+b），解得b=4a，
∴A点坐标为（a，a），B点坐标表示为（2a，a），
∵A（a，m），B（2a，n）是反比例函数上，
∴一次函数与x轴，y轴的交点F（0，4a），E（3a，0），如图，
∵S_△AOB=S_△E0F-S_△FOA-S_△BOE=8，
即•3a•4a-4a•a-•3a•a=8，
∴a²=4，
∴a=±2（负号舍去）
∴a=2．
分析：（1）根据反比例函数图象上点得坐标特点得到am=k，2an=k，再根据三角形面积公式得到S_△AOC=OC•AC=a×m=k，S_△BOD=OD×BD=×2a×n=k，即可得到结论；
（2）先把A、B两点坐标代入一次函数解析式，可以用a表示为A点坐标（a，-a+b），B点坐标（2a，-a+b），再利用A、B两点在反比例函数图象上，则k=a•（-a+b）=2a•（-a+b），于是解得b=4a，然后用a表示一次函数与坐标轴两交点坐标F（0，4a），E（3a，0），然后利用S_△AOB=S_△E0F-S_△EOA-S_△BOF=8和三角形面积公式得到关于a的方程，再解方程可得a的值．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了三角形面积公式．