Question

14．如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，直线AE交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）若∠CBF=65°，求∠AGC的度数．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质，得出AB=CB，∠ABC=90°，进而求得∠BAE=∠CBF，然后根据AAS即可证得△ABE≌△BCF；
（2）根据△ABE≌△BCF，得出∠CBF=∠BAE=65°，然后根据AB∥DC，得出∠AGD=∠BAE=65°，即可求得∠AGC=115°．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∵AE⊥l于点E，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBF\\;}\\{∠AEB=∠BFC=90°}\\{AB=CB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△BCF（AAS）；
（2）∵△ABE≌△BCF，∠CBF=65°，
∴∠BAE=65°，
又由正方形ABCD得AB∥DC，
∴∠AGD=∠BAE=65°，
∴∠AGC=115°．

点评 此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质以及利用等角的余角相等等知识来解决问题．