Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm．在Rt△DEF中，∠DFE=90°，EF=6cm，DF=8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD-DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．
（1）当t=2时，PH=

 

cm，DG=

 

cm；
（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；
（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；
（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）当t=2，得到BF=2，PF=4，根据BF：BC=HF：AC，即可求出HF，从而得到PH；BE=8，利用Rt△BEG∽Rt△BAC，可求出EG，得到DG；
（2）根据题意得到PD=PE，则BF=t，PF=2t，DF=8，得到PD=DF-PF=8-2t．在Rt△PEF中，利用勾股定理得到4t²+36=（8-2t）²，解得t=

7

8

．
（3）设当△DEF和点P运动的时间是t时，点P与点G重合，此时点P一定在DE边上，DP=DG．根据正切的定义得到tanB=tanD=

3

4

，则FH=

3

4

t，DH=8-

3

4

t，得到DG=-

3

5

t+

32

5

，而DP+DF=2t，于是有2t-8=-

3

5

t+

32

5

，即可解得t的值；
（4）分类讨论：当0＜t≤4时，点P在DF边上运动，tan∠PBF=

PF

BF

=2；当4＜t≤6时，点P在DE边上运动，作PS⊥BC于S，PE=DE-DP=10-（2t-8）=18-2t．tan∠PBF=

PS

BS

=

72-8t

11t-24

．

解答：解：（1）当t=2，得到BF=2，PF=4，根据BF：BC=HF：AC，即可求出HF，从而得到PH；BE=8，利用Rt△BEG∽Rt△BAC，可求出EG，得到DG由题意即：PH=

5

2

，DG=

26

5

；

（2）只有点P在DF边上运动时，
△PDE才能成为等腰三角形，且PD=PE．（如图1）
∵BF=t，PF=2t，DF=8，
∴PD=DF-PF=8-2t．
在Rt△PEF中，PE²=PF²+EF²=4t²+36=PD²．即4t²+36=（8-2t）²．
解得t=

7

8

．
∴t为

7

8

时△PDE为等腰三角形；

（3）设当△DEF和点P运动的时间是t时，点P与点G重合，
此时点P一定在DE边上，DP=DG．
由已知可得tanB=

AC

BC

=

9

12

=

3

4

，tanD=

6

8

=

3

4

，
∴∠B=∠D，
又∵∠D+∠DEB=90°，
∴∠B+∠DEB=90°，
∴∠DGH=∠BFH=90°．
∴FH=BF•tanB=

3

4

t，DH=DF-FH=8-

3

4

t，DG=DH•cosD=（8-

3

4

t）•

4

5

=-

3

5

t+

32

5

，
∵DP+DF=2t，
∴DP=2t-8．
由DP=DG得，2t-8=-

3

5

t+

32

5

，解得t=

72

13

，
∵4＜

72

13

＜6，则此时点P在DE边上．
∴t的值为

72

13

时，点P与点G重合．

（4）当0＜t≤4时，点P在DF边上运动（如图1），tan∠PBF=

PF

BF

=2．
当4＜t≤6时，点P在DE边上运动（如图2），作PS⊥BC于S，则tan∠PBF=

PS

BS

；
可得PE=DE-DP=10-（2t-8）=18-2t．
此时PS=PE•cos∠EPS=PE•cosD=

4

5

•（18-2t）=-

8

5

t+

72

5

，ES=PE•sin∠EPS=PE•sinD=

3

5

•（18-2t）=-

6

5

t+

54

5

，
∴BS=BF+EF-ES=t+6-（-

6

5

t+

54

5

）=

11

5

t-

24

5

，
∴tan∠PBF=

PS

BS

=

72-8t

11t-24

，
综上所述，
tan∠PBF=

2(0＜t≤4) 72-8t 11t-24 (4＜t≤6)

．
（以上时间单位均为s，线段长度单位均为cm）

点评：本题考查了三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比；也考查了分类讨论思想的运用以及勾股定理．