Question

抛物线y=-x²-x+6与x轴交于A、B两点，直线y=

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x+a与抛物线交于M、N两点，当∠MON=90°时，求a的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：将y=-x²-x+6和y=

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x+a联立得到方程组，化简后得到x₁•x₂=a-6，y₁•y₂=

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（2a²-a-3），根据△MEO∽△OFN，得到ME•NF=EO•OF即x₁•x₂=y₁•y₂，解答即可．

解答：解：将y=-x²-x+6和y=

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x+a联立得到方程组：

-x2-x+6=0 1 2 x+a=0

，
消掉y化简得到：
2x²+3x+（2a-12）=0，
所以x₁•x₂=a-6，
消掉x 化简得到：
4y²+（3-8a）y+（4a²-2a-6）=0，
所以y₁•y₂=

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（2a²-a-3），
这里要分情况讨论：
第一，当a＞6时，x₁•x₂＞0  当a＜6时，x₁•x₂＜0，
第二，当a＜-1且a＞

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时，y₁•y₂＞0  当-1＜a＜

3

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时，y₁•y₂＜0，
根据以上情况分析：
∵△MEO∽△OFN，
∴ME•NF=EO•OF，
x₁•x₂=y₁•y₂，
可以得出当a＜-1或a属于（

3

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，6）时有两个解，
即6-a=

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（2a²-a-3），
a=-3或

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．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，结合一次函数与二次函数及相似三角形的性质是解题的关键．