Question

16．有一串分数：$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{1}{4}$…①$\frac{10}{10}$是第91个分数，②第300个分数是$\frac{（）}{（）}$．

Answer 1

分析 注意到这些分数是分组依次向后排列的：
第一组：$\frac{1}{1}$，
第二组：$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$
第三组：$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$
第四组：$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{1}{4}$，
…
依此类推．
每一组的中心分数的分子分母相同；
每一组分数的分母一样，分子从中心分数开始向两边依次递减；
每一组分数的个数依次为：1，3，5，7，9，…（2n-1）；
每n组的中心分数排在该组的第n个；
前n组的分数总个数为：1+3+5+7+…+（2n-1）=n²；
基于上述分析，答案易得．

解答 解：将这列分数分组如下：
第一组：$\frac{1}{1}$，
第二组：$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$
第三组：$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$
第四组：$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{1}{4}$，
…
每一组的中心分数的分子分母相同；
每一组分数的分母一样，分子从中心分数开始向两边依次递减，
每一组分数的个数依次为：1，3，5，7，9，…（2n-1）；
每n组的中心分数排在该组的第n个；
前n组的分数总个数为：1+3+5+7+…+（2n-1）=n²；

①前9组分数的总个数为：1+3+5+7+…+17=81，
$\frac{10}{10}$排在第十组的第10个位置，所以$\frac{10}{10}$是第91个分数；
②前17组的分数总个数为：17²=289，
前18组的分数总个数为：18²=324，
300-289=11，
所以，第300个分数在第18组的第11个位置，
所以，第300个分数为：$\frac{11}{18}$．

点评 本题是数字规律题，考查学生对数列变化规律的观察分析能力，有一定难度．看出数列是以分组的方式排列是解答本题的突破口和关键所在，同时解答过程用到了等差数列求和公式，这一点也需要同学们掌握．