Question

【题目】如图，菱形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，边BC在x轴上，且BC=5，sin∠ABC=，反比例函数（x>0）的图象分别与AD，CD交于点M、点N，点N的坐标是（3，n），连接OM，MC.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求证：△OMC是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）先根据菱形的性质求出AD=AB=5，再根据三角函数求出OA，进而利用勾股定理求出OB，求出点C，D坐标，利用待定系数法求出直线CD解析式，进而求出点N坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出点M坐标，再用两点间的距离公式求出OM和CM，即可得出结论．

：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=AD=BC=5，
在Rt△AOB中，sin∠ABC=，
∴OA=4，
根据勾股定理得，OB=3，
∴OC=BC-OB=2，
∴C（2，0），
∵AD=5，OA=4，
∴D（5，4），
∴直线CD的解析式为y=x-，
∵点N的坐标是（3，n），
∴n=，
∴N（3，），
∵点N在反比例函数y=（x＞0）图形上，
∴k=3×=4，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y=，
∵点M在AD上，
∴M点的纵坐标为4，
∴点M的横坐标为1，
∴M（1，4），
∵C（2，0），
∴OM=，CM=，
∴OM=CM，
∴△OMC是等腰三角形．