Question

5．已知方程3x²-x-3=0的两根为x₁和x₂，不解方程求下列各式的值
（1）x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$；
（2）|x₁-x₂|；
（3）x${\;}_{1}^{3}$+x${\;}_{2}^{3}$．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系找出“x₁+x₂=$\frac{1}{3}$，x₁•x₂=-1”，再将（1）（2）（3）中算式变形为只含两根之和与两根之积的形式，代入数据即可得出结论．

解答 解：∵方程3x²-x-3=0的两根为x₁和x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{3}$，x₁•x₂=-1．
（1）${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=$（\frac{1}{3}）^{2}$-2×（-1）=$\frac{19}{9}$；
（2）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{3}）^{2}-4×（-1）}$=$\frac{\sqrt{37}}{3}$；
（3）${{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}$=（x₁+x₂）（${{x}_{1}}^{2}$-x₁•x₂+${{x}_{2}}^{2}$）=（x₁+x₂）[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-3x₁•x₂]=$\frac{1}{3}$×[$（\frac{1}{3}）^{2}$-3×（-1）]=$\frac{28}{27}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是：（1）将算式变形为$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂；（2）将算式变形为$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$；（3）将算式变形为（x₁+x₂）[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-3x₁•x₂]．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和、两根之积是关键．