Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，CD=AB，4BC²=5AD²，
（1）求证：AD=AB．
（2）AC、BD交于点E，AO⊥BD交BD于O，交BC于F，求证：CE=CF．
（3）作点F交于点O的对称点H，试判断BH与AE的关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）过点C作CM⊥AB于M，
∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴四边形AMCD是矩形，
∴AM=CD，
∵CD=AB，
∴AM=BM，
∴AC=BC，
∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
∴AD²+CD²=AC²=BC²，
∵4BC²=5AD²，
∴CD²=AD²，
即CD=AD，
∴AD=AB，

（2）由（1）知：∠ADB=∠ABD=45°，
又∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠CAF=∠CBE，
∴在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴CE=CF；

（3）延长BH交AE于N，
由（2）可得：AE=BF，
∵F，H关于点O对称，
∴BH=BF，∠OBF=∠OBH，
∴BH=AE，
∵∠CAF=∠CBE，
∴∠OBH=∠CAF，
∴∠ANH=∠BOH=90°，即BH⊥AE．
分析：（1）首先证明AM=BM，得出AC=BC，进而得出AD²+CD²=AC²=BC²，以及CD²=AD²，得出AD=AB；
（2）首先根据已知得出∠CAF=∠CBE，证明△ACF≌△BCE（ASA），即可得出答案；
（3）延长BH交AE于N，由（2）可得：AE=BF，进而得出BH=AE，即可得出∠ANH=∠BOH=90°．
点评：此题主要考查了直角梯形的性质以及全等三角形的判定、对称点性质等知识，根据已知正确作出辅助线是解题关键．